NAWASHIRO

7 ノイズをつくろう

このシェーダー入門は、おもに数式に焦点をあてる。なぜかって？筆者が数学なんもわからんの民だからだ。まちがっていたらおしえてほしい。

この記事は 7日間でマスターするUnityシェーダ入門 を自分なりに理解しようと努めた内容だ。また、プログラムはここからの引用であることが多い。詳しく知りたかったら、原典を参照してほしい。

ランダムノイズ

疑似乱数を使ってノイズを作成する。

実際のコードとは少し異なり、雰囲気でやってしまった感があるが、数式を書いてみた。詳しい人から見たら怒られるかもしれないが、そうしたらこっそり教えてほしい。

入力から小数点のみを取り出して出力する関数。hlsl での frac 関数に相当する。

dec(x)=x mod 1\text{dec}(x) = x\bmod1

入力 xx からランダムな yy を出力する関数。

rand(x)=dec(sin⁡(x⋅12.9898)⋅43758.5453)\text{rand}(x) = \text{dec}\left(\sin(x\cdot12.9898)\cdot43758.5453\right)

0.01 刻みの xx に対して 0 から 1 まで rand(x)\text{rand}(x) したグラフ。一見ランダムに見える。1

ランダムに打たれた点

実装はこうなる。乱数の入力が先ほどの数式と少し異なる点に注意してほしい。

struct appdata
{
	fixed2 texcoord : TEXCOORD0;
	...
}

struct v2f
{
	fixed2 uv : TEXCOORD0;
	...
}

v2f vert(appdata v)
{
	v2f o;
	o.uv = fixed2(v.texcoord.xy);
	...
	return o;
}

float random (fixed2 p) { 
	return frac(sin(dot(p, fixed2(12.9898,78.233))) * 43758.5453);
}

float4 frag(v2f i) : SV_Target
{
	float c = random(i.uv);
	return fixed4(c,c,c,1);
}

ブロックノイズ

random 関数への入力の小数点を丸めることで、粒度の荒いノイズを生成できる。

float noise(fixed2 st)
{
	fixed2 p = floor(st);
	return random(p);
}

バリューノイズ

ブロックノイズを平滑化する。グリッドの四隅で乱数を生成し、それをグリッド内の位置（オフセット）で平滑化した値を使う。平滑化には以下の数式を使う。入力は 0 から 1 をとるので、こうなる。

3x2−2x3where0<x<13x^2-2x^3 \quad \text{where} \quad 0 < x < 1

左右にたわんだ斜めに伸びる曲線

これをコードに落とし込むために、式変形をする。

3x2−2x33x^2-2x^3

x2⋅(3−2x)x^2\cdot\left(3-2x\right)

x⋅x⋅(3−2x)x \cdot x \cdot \left(3-2x\right)

グリッドの四隅で乱数を生成する。

fixed2 p = floor(st);
float v00 = random(p+fixed2(0,0));
float v10 = random(p+fixed2(1,0));
float v01 = random(p+fixed2(0,1));
float v11 = random(p+fixed2(1,1));

グリッドのなかの位置（オフセット）を求めて、なだらかな平滑化に必要な計算をする。

fixed2 f = frac(st);
fixed2 u = f * f * (3.0 - 2.0 * f);

四隅の値から実際に平滑化する。

float v0010 = lerp(v00, v10, u.x);
float v0111 = lerp(v01, v11, u.x);
return lerp(v0010, v0111, u.y);

パーリンノイズ

バリューノイズをさらになだらかにする。グリッドの四隅をランダムなベクトルにして、ブロック内部の点から四隅に向かうベクトルと内積をとる。これで、グラデーション状に変化する。

ランダムなベクトルを生成する疑似乱数を書く。

fixed2 random2(fixed2 st){
	st = fixed2(dot(st,fixed2(127.1,311.7)), dot(st,fixed2(269.5,183.3)));
	return -1.0 + 2.0*frac(sin(st)*43758.5453123);
}

四隅をランダムなベクトルにする。

fixed2 v00 = random(p+fixed2(0,0));
fixed2 v10 = random(p+fixed2(1,0));
fixed2 v01 = random(p+fixed2(0,1));
fixed2 v11 = random(p+fixed2(1,1));

四隅のベクトルとオフセットで内積をとり、平滑化する。0 以上になってほしいので、0.5 を足している。

return lerp( lerp( dot( v00, f - fixed2(0,0) ), dot( v10, f - fixed2(1,0) ), u.x ),
	 lerp( dot( v01, f - fixed2(0,1) ), dot( v11, f - fixed2(1,1) ), u.x ), 
	 u.y)+0.5f;

Footnotes

  1. はじめ、dec(x)\text{dec}(x) 関数を書き間違える凡ミスをしていた。この図は、そのときのものなので、注意してほしい。 ↩

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